Applications Linéaires

Mathématiques → Algèbre linéaire → Les transformations qui respectent la structure de l’espace

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L’essentiel

Une application linéaire est une fonction $ entre deux espaces vectoriels qui respecte les deux opérations de base : (u+v) = f(u)+f(v)$ et (\lambda u) = \lambda f(u)$. Autrement dit, elle conserve l’addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire : les droites restent des droites, l’origine reste fixe. Rotations, projections, homothéties, symétries en sont des exemples.

Points clés

• Représentation : en dimension finie, toute application linéaire se code par une matrice (une fois choisies les bases). Composer deux applications = multiplier leurs matrices.
• Noyau et image :
  • le noyau (ker f) = les vecteurs envoyés sur 0 (ce que l’application « écrase ») ;
  • l’image (im f) = tout ce qui est atteint.
  • $ est injective ssi son noyau est réduit à {0}.
• Ces deux objets sont reliés par le Théorème du Rang.

Portée

• Concept central de l’algèbre linéaire : il unifie géométrie (transformations), systèmes d’équations et calcul matriciel — et sous-tend l’analyse de données, le traitement du signal, la 3D et l’IA.

À retenir

Une application linéaire conserve l’addition et la multiplication par un scalaire (les droites restent droites, l’origine fixe) : rotations, projections… En dimension finie, elle se représente par une matrice (composition = produit). Ses objets clés — noyau (ce qu’elle écrase) et image (ce qu’elle atteint) — sont liés par le Théorème du Rang.

🔗 Liens

• espaces vectoriels · Matrices et Déterminants · Théorème du Rang · Espaces de Hilbert