Théorème du Rang

Mathématiques → Algèbre linéaire → Une comptabilité exacte : ce qu’on écrase + ce qu’on atteint = tout

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L’essentiel

Le théorème du rang est une égalité fondamentale de l’algèbre linéaire. Pour une application linéaire $ définie sur un espace vectoriel $ de dimension finie : 5\dim(E) = \dim(\ker f) + \operatorname{rg}(f)5 où le rang ($\operatorname{rg} f = \dim(\operatorname{im} f)$) est la dimension de l’image, et $\dim(\ker f)$ la dimension du noyau.

Le sens intuitif

• La dimension de départ se répartit entre ce que $ écrase (le noyau, envoyé sur 0) et ce qu’elle préserve effectivement (l’image). Rien ne se perd dans la comptabilité : écrasé + atteint = total.
• Conséquences : en dimensions égales, $ est injective ⟺ surjective ⟺ bijective (inversible) — d’où le lien avec le déterminant non nul.

Portée

• Outil de raisonnement omniprésent : résoudre des systèmes (nombre de solutions), comprendre les projections, prouver l’inversibilité — pilier des cours de prépa et de licence.

À retenir

Le théorème du rang : pour une application linéaire en dimension finie, $\dim(E) = \dim(\ker f) + \operatorname{rg}(f)$ — la dimension de départ se partage entre le noyau (ce qui est écrasé) et l’image (ce qui est atteint, = le rang). En dimensions égales : injective ⟺ surjective ⟺ bijective. Comptabilité exacte de toute transformation linéaire.

🔗 Liens

• espaces vectoriels · Applications Linéaires · Matrices et Déterminants