Mathématiques → Analyse → Une liste ordonnée et infinie de nombres Compter le temps qui passe : chaque terme dépend de son rang, et on veut savoir où tout cela mène.
L’essentiel
Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers ℕ : à chaque rang n (0, 1, 2, 3…) elle associe un nombre noté uₙ (le « terme de rang n »). On note la suite (uₙ). On peut la définir de deux façons :
- Explicite : uₙ donné directement en fonction de n (ex. uₙ = 2n + 3).
- Par récurrence : on donne le premier terme et une relation entre un terme et le suivant (ex. u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 3). Chaque terme se calcule à partir du précédent.
Les deux grandes familles
- Suite arithmétique : on ajoute toujours le même nombre, la raison r. Relation : uₙ₊₁ = uₙ + r. Terme général : uₙ = u₀ + n·r. (Croissance linéaire, en « escalier régulier ».)
- Suite géométrique : on multiplie toujours par le même nombre, la raison q. Relation : uₙ₊₁ = q·uₙ. Terme général : uₙ = u₀ · qⁿ. (Croissance exponentielle si q > 1 : c’est le moteur des intérêts composés, de la démographie, des épidémies.)
Étudier une suite
- Sens de variation (monotonie) : la suite est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ. On l’étudie via le signe de uₙ₊₁ − uₙ, ou le quotient uₙ₊₁/uₙ (termes positifs).
- Bornée : majorée (ne dépasse jamais un plafond M), minorée (jamais sous un plancher m), bornée si les deux.
- Récurrence (le raisonnement) : le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu’une propriété est vraie pour tout n : on vérifie au rang initial (initialisation), puis on montre que « vraie au rang n ⟹ vraie au rang n+1 » (hérédité).
La limite : où va la suite ?
Question centrale de l’analyse. Quand n devient très grand :
- La suite converge si uₙ se rapproche d’un nombre fixe ℓ (sa limite). Ex. uₙ = 1/n → 0.
- Elle diverge si elle tend vers +∞ / −∞, ou si elle oscille sans se stabiliser (ex. (−1)ⁿ).
- Théorème-clé : toute suite croissante et majorée converge (théorème de la limite monotone). Pour une suite géométrique, le comportement dépend de q : converge vers 0 si −1 < q < 1, diverge si |q| > 1.
Pourquoi ça compte
Les suites modélisent tout phénomène pas à pas : intérêts bancaires, remboursement d’un prêt, croissance d’une population, propagation d’une épidémie, algorithmes itératifs (une suite qui converge = un calcul qui « s’approche » de la solution). Elles sont la porte d’entrée de l’analyse et de la notion de limite, socle du calcul différentiel et intégral.
🔗 Liens
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