Les cinq blocs du cycle 4, avec les pièges qui coûtent des points.

BLOC 1 — NOMBRES ET CALCULS

1. Les priorités opératoires

⭐ L’ordre, et il ne se discute pas :

① Parenthèses → ② Puissances → ③ × et ÷ (de gauche à droite) → ④ + et − (de gauche à droite)

⚠️ Piège classique : 2 + 3 × 4 = 14, PAS 20. ⚠️ Piège du signe moins : −3² = −9 (on élève 3 au carré, puis on prend l’opposé), mais (−3)² = +9. 👉 La parenthèse change tout.

Les règles de signes :

(+) × (+) = + ; (−) × (−) = + ; (+) × (−) = −
⭐ Un produit est POSITIF s’il contient un nombre PAIR de facteurs négatifs.

2. Les fractions

ADDITION / SOUSTRACTION : il FAUT le même dénominateur.

a/b + c/d = (a×d + c×b) / (b×d)

MULTIPLICATION : on multiplie tout, en ligne.

a/b × c/d = (a×c) / (b×d) ⚠️ PAS besoin du même dénominateur !

DIVISION : on multiplie par l’INVERSE.

a/b ÷ c/d = a/b × d/c

⚠️ L’erreur la plus fréquente du collège : chercher un dénominateur commun pour une MULTIPLICATION. C’est inutile.

3. Puissances

aⁿ = a × a × … × a (n fois)
⭐ a⁰ = 1 (toujours, quel que soit a ≠ 0).
⭐ a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (la puissance négative, c’est l’inverse).

Les règles (les 4 à savoir) :

aᵐ × aⁿ = a^(m+n) (on ADDITIONNE les exposants) aᵐ ÷ aⁿ = a^(m−n) (aᵐ)ⁿ = a^(m×n) (on MULTIPLIE) (a×b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

⚠️ Piège : 2³ × 2⁴ = 2⁷, PAS 4⁷. La base ne change pas.

Notation scientifique : un nombre entre 1 et 10, multiplié par une puissance de 10. Ex : 45 000 = 4,5 × 10⁴. 0,0032 = 3,2 × 10⁻³.

4. Arithmétique — PGCD et fractions irréductibles

Un nombre PREMIER n’a que 2 diviseurs : 1 et lui-même. (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…) ⚠️ 1 N’EST PAS premier. 2 est le seul nombre premier pair.

DÉCOMPOSITION en facteurs premiers : 60 = 2² × 3 × 5.

⭐ Le PGCD sert à RENDRE UNE FRACTION IRRÉDUCTIBLE. (On divise numérateur et dénominateur par leur PGCD.)

Algorithme d’Euclide (le plus rapide) : on divise, on remplace, on recommence jusqu’au reste 0. Le dernier reste non nul est le PGCD.

Critères de divisibilité (à connaître) :

par 2 : le chiffre des unités est pair.
par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3.
par 5 : ça finit par 0 ou 5.
par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9.

5. Le calcul littéral

DÉVELOPPER = enlever les parenthèses. FACTORISER = mettre en facteur.

⭐ La double distributivité :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

⭐⭐ LES TROIS IDENTITÉS REMARQUABLES — à connaître par cœur, dans les deux sens :

① (a + b)² = a² + 2ab + b² ② (a − b)² = a² − 2ab + b² ③ (a + b)(a − b) = a² − b²

⚠️ 🔑 L’ERREUR LA PLUS GRAVE ET LA PLUS FRÉQUENTE DE TOUT LE COLLÈGE :

❌ (a + b)² ≠ a² + b²

👉 Il MANQUE le double produit 2ab. (Vérifiez avec des chiffres : (2+3)² = 25. Et 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Ce n’est pas pareil.)

6. Équations

Une équation est une BALANCE. ⭐ Tout ce qu’on fait d’un côté, on le fait de l’autre.

Méthode : (1) développer si besoin ; (2) rassembler les x d’un côté, les nombres de l’autre ; (3) diviser.

⚠️ Le piège du signe : quand on fait passer un terme de l’autre côté, il CHANGE DE SIGNE.

⭐ L’ÉQUATION-PRODUIT (le grand classique du brevet) :

Si A × B = 0, alors A = 0 OU B = 0.

⚠️ C’est LA raison pour laquelle on factorise. (Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Cette propriété n’existe QUE pour 0.)

BLOC 2 — PROPORTIONNALITÉ

7. Le cœur du programme (et de la vie courante)

Deux grandeurs sont proportionnelles s’il existe un COEFFICIENT constant qui fait passer de l’une à l’autre.

Le PRODUIT EN CROIX :

Si a/b = c/d, alors a × d = b × c.

POURCENTAGES :

Prendre t % de N = N × t/100.
⭐ AUGMENTER de 20 % = multiplier par 1,20. DIMINUER de 20 % = multiplier par 0,80.

⚠️ 🔑 LE PIÈGE MAJEUR, et il vaut aussi dans la vie : une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 20 % NE RAMÈNE PAS au point de départ.

Vérifiez : 100 → +20 % → 120 → −20 % → 96. 👉 On a perdu 4 %. (Parce que les 20 % ne portent pas sur la même base.)

⚠️ Autre piège : « les prix ont augmenté de 50 % puis de 50 % » ≠ « ils ont augmenté de 100 % ». (1,5 × 1,5 = 2,25 → +125 %.)

VITESSE, DÉBIT, ÉCHELLE : ce sont tous des rapports de proportionnalité.

v = d / t — Échelle = distance sur le plan ÷ distance réelle.

BLOC 3 — GÉOMÉTRIE

8. Les deux théorèmes rois

⭐⭐ PYTHAGORE — pour les LONGUEURS dans un triangle RECTANGLE

Dans un triangle rectangle : (hypoténuse)² = (côté 1)² + (côté 2)² BC² = AB² + AC² (si l’angle droit est en A)

⚠️ L’hypoténuse est le côté OPPOSÉ à l’angle droit, et c’est TOUJOURS le plus long.

⭐ LA RÉCIPROQUE (pour PROUVER qu’un triangle est rectangle) : si BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A. 👉 On calcule les deux membres SÉPARÉMENT et on compare.

⭐⭐ THALÈS — pour les longueurs dans une CONFIGURATION DE DROITES PARALLÈLES

Configuration : deux droites sécantes en A, coupées par deux parallèles (BC) et (MN).

AM / AB = AN / AC = MN / BC

⚠️ Il faut respecter l’ORDRE des points : on écrit les rapports « en descendant » depuis le sommet.

⭐ La RÉCIPROQUE sert à prouver que deux droites sont PARALLÈLES (si les rapports sont égaux ET que les points sont dans le même ordre).

9. Trigonométrie (dans le triangle rectangle)

⭐ Le moyen mnémotechnique — SOH CAH TOA :

Sinus = Opposé / Hypoténuse Cosinus = Adjacent / Hypoténuse Tangente = Opposé / Adjacent

⚠️ « Opposé » et « adjacent » sont définis PAR RAPPORT À L’ANGLE qu’on considère. Ils changent si on change d’angle.

Quand l’utiliser ? ⭐ Pythagore ne marche qu’avec 3 côtés. La trigo sert dès qu’il y a un ANGLE dans l’énoncé.

10. Angles, triangles, cercles

La somme des angles d’un triangle = 180°.
Angles ALTERNES-INTERNES et CORRESPONDANTS (avec deux parallèles coupées par une sécante) : ils sont ÉGAUX.
Dans un cercle : l’angle inscrit vaut la MOITIÉ de l’angle au centre qui intercepte le même arc.
⭐ Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un côté est un DIAMÈTRE, alors le triangle est RECTANGLE. (Et réciproquement : l’hypoténuse est un diamètre, donc le centre du cercle circonscrit est le MILIEU de l’hypoténuse.)

Les formules d’aire et de volume à savoir :

Aire du disque : π × r² — Périmètre du cercle : 2 × π × r
Aire d’un triangle : (base × hauteur) / 2
Volume d’un pavé : L × l × h — Volume d’un cylindre : π × r² × h
Volume d’une pyramide / d’un cône : (aire de base × hauteur) / 3 ⚠️ Le ÷3 est oublié une fois sur deux.
Volume d’une boule : (4/3) × π × r³

⚠️ ⭐ AGRANDISSEMENT-RÉDUCTION — le piège du brevet : Si on multiplie les longueurs par k, alors :

les AIRES sont multipliées par k²
les VOLUMES sont multipliés par k³

👉 Doubler les dimensions d’un cube : l’aire ×4, le volume ×8. (C’est pourquoi une fourmi géante s’effondrerait sous son propre poids : son volume — donc sa masse — croît plus vite que la section de ses pattes.)

11. Transformations

⭐ Toutes conservent les ANGLES, les LONGUEURS et les AIRES — SAUF l’homothétie, qui multiplie les longueurs par |k|.

BLOC 4 — FONCTIONS

12. La notion de fonction

⭐ Une fonction, c’est une MACHINE : elle prend une entrée x, elle rend une sortie f(x).

Vocabulaire : x est l’antécédent, f(x) est l’image.

⚠️ Piège de vocabulaire : « l’image de 3 par f » = f(3). « L’antécédent de 5 » = le x tel que f(x) = 5. On les confond une fois sur deux.

Lire un graphique :

Pour trouver une IMAGE : on part de l’axe des x (horizontal), on monte, on lit sur l’axe des y.
Pour trouver un ANTÉCÉDENT : on part de l’axe des y, on va horizontalement, on lit sur l’axe des x. ⚠️ Il peut y en avoir PLUSIEURS (alors qu’une image est unique).

Les deux fonctions du programme :

⭐ FONCTION LINÉAIRE : f(x) = a × x. Sa représentation est une DROITE QUI PASSE PAR L’ORIGINE. 👉 C’est la traduction exacte de la PROPORTIONNALITÉ.
⭐ FONCTION AFFINE : f(x) = a × x + b. Une DROITE qui coupe l’axe des y en b.
- a = le COEFFICIENT DIRECTEUR (la pente : si a > 0, ça monte ; si a < 0, ça descend).
- b = l’ORDONNÉE À L’ORIGINE (la valeur en x = 0).

⚠️ Une fonction affine avec b ≠ 0 n’est PAS une situation de proportionnalité. (Ex : un abonnement à 10 € + 2 €/heure. Ce n’est pas proportionnel — il y a un forfait fixe.)

BLOC 5 — STATISTIQUES ET PROBABILITÉS

13. Statistiques

⭐⭐ Le point qui vaut au-delà du collège : dans un pays où 9 personnes gagnent 1 000 € et une gagne 100 000 €, la MOYENNE est de ~10 900 € et la MÉDIANE est de 1 000 €.

👉 🔑 La médiane décrit les gens. La moyenne décrit le total. ⚠️ C’est pourquoi on parle toujours de salaire MÉDIAN quand on veut décrire la population. (Voir Statistiques — Ce qu’il faut savoir lire.)

Moyenne PONDÉRÉE : (quand les valeurs ont des coefficients) → on multiplie chaque valeur par son coefficient, on somme, et on divise par la somme des coefficients.

14. Probabilités

P(événement) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles

⚠️ Une probabilité est TOUJOURS entre 0 et 1. (0 = impossible ; 1 = certain.)

P(A) + P(non-A) = 1. ⭐ Souvent, il est BEAUCOUP plus rapide de calculer le contraire. (« Au moins un six en 3 lancers » : calculez plutôt « aucun six ».)

⚠️ ⭐ L’erreur du joueur, et elle vaut pour la vie : le dé n’a pas de mémoire. Après cinq « pile » d’affilée, la probabilité du prochain « pile » est toujours de 1/2. (Voir Biais Cognitifs, Le Poker.)

15. Les 10 pièges qui coûtent des points

(a + b)² ≠ a² + b². (Le double produit !)
Chercher un dénominateur commun pour une MULTIPLICATION de fractions.
Oublier le ÷3 dans le volume d’une pyramide ou d’un cône.
Croire que +20 % puis −20 % ramène au point de départ.
Oublier que les aires sont en k² et les volumes en k³.
Confondre image et antécédent.
Ne pas respecter l’ordre des points dans Thalès.
Oublier que −3² = −9 mais (−3)² = +9.
Confondre moyenne et médiane.
Croire que le hasard « se rattrape ».

🔗 Liens

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