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Le Débat Hobbes-Torricelli sur l'Infini

Philosophie → Métaphysique & histoire des sciences (XVIIe s.) → Débat — En 1641, Torricelli démontre qu'un solide infiniment long (la trompette de Gabriel) peut avoir un volume fini : un objet à la…

Philosophie → Métaphysique & histoire des sciences (XVIIe s.) → Débat

Enjeu global

En 1641, Torricelli démontre qu’un solide infiniment long (la trompette de Gabriel) peut avoir un volume fini : un objet à la fois fini et infini. Ce résultat déclenche l’un des grands affrontements intellectuels du XVIIe siècle, dont Thomas Hobbes sera l’adversaire le plus farouche. L’enjeu dépasse les maths : peut-on manier l’infini rationnellement, ou est-ce un non-sens ? C’est tout le débat entre l’infini potentiel (un processus sans fin) et l’infini actuel (un infini donné en acte, “achevé”) — une question qui traverse la philosophie d’Aristote à Cantor.

Dimension technique / le contexte

  • Le résultat de Torricelli (1641) : le solide de révolution de la courbe y = 1/x a une surface infinie mais un volume fini (= π) — voir le détail dans La Trompette de Gabriel. C’est, avant même le calcul intégral formel (Newton/Leibniz arriveront plus tard), un usage rigoureux de l’infiniment petit (la méthode des “indivisibles” de Cavalieri, maître de Torricelli).
  • La réception immédiate :
    • Roberval, sceptique, refait les calculs… et confirme le résultat — la rigueur l’emporte sur l’incrédulité.
    • Descartes y voit “l’un des plus beaux paradoxes” — il accepte le résultat tout en restant prudent sur l’infini (qu’il réserve à Dieu, parlant pour le reste d’“indéfini”).
    • Hobbes : le rejette violemment.

Dimension philosophique / le cœur du débat

La position de Hobbes : le matérialisme nominaliste contre l’infini actuel

  • Thèse : pour Hobbes (Léviathan, 1651 ; De Corpore, 1655), philosophe matérialiste et nominaliste, l’infini actuel est une absurdité. Sa raison de fond : nous ne pouvons concevoir que ce dont nous avons l’image sensible (toute pensée vient des sens, du corps). Or nous n’avons aucune image d’un infini achevé — donc en parler comme d’un objet réel, c’est produire des mots vides de sens (insignificant speech). “Infini” ne nomme pas une chose, c’est seulement l’aveu que nous ne pouvons compter jusqu’au bout.
  • Conséquence : un objet “à volume fini mais longueur infinie” est pour lui un galimatias — les géomètres qui manient l’infini parlent un langage corrompu. (Hobbes mène d’ailleurs une longue guerre contre les mathématiciens de son temps, en particulier John Wallis, sur l’infini et la quadrature du cercle — guerre qu’il perdra, ses propres “preuves” étant fausses.)

La position de Torricelli (et des géomètres) : l’infini se calcule

  • Thèse : le résultat est démontré, donc vrai, que notre intuition le supporte ou non. La puissance du calcul dépasse les limites de l’imagination sensible. On peut raisonner rigoureusement sur l’infini sans en avoir l’image — c’est même la grandeur des mathématiques que de dépasser le sens commun.
  • Le clivage : Hobbes fait de la conception sensible le critère du sens ; les géomètres font du calcul démontré le critère de la vérité. Deux théories du savoir s’affrontent (empirisme matérialiste vs rationalisme mathématique — voir L’âme sur le rapport pensée/sensible).

L’arrière-plan : infini potentiel vs infini actuel

  • Aristote distinguait l’infini potentiel (on peut toujours ajouter un nombre, diviser un segment — un processus sans terme) de l’infini actuel (un tout infini donné d’un coup), qu’il refusait. La tradition médiévale réservait l’infini actuel à Dieu seul.
  • Le paradoxe de Torricelli force à manier une forme d’infini achevé en géométrie — ce que Hobbes, fidèle à une ligne aristotélicienne radicalisée par son matérialisme, ne peut admettre.
  • Résolution historique : la querelle ne sera vraiment tranchée qu’avec la rigorisation de l’analyse (limites au XIXe s., Cauchy/Weierstrass) puis la théorie des ensembles de Cantor (fin XIXe), qui donne enfin un statut mathématique rigoureux à l’infini actuel (les cardinaux transfinis) — voir Les Paradoxes en Mathématiques.

Portée

  • Épistémologique : le débat illustre le moment où les mathématiques s’émancipent du sens commun et de l’intuition sensible — la vérité devient ce qui se démontre, non ce qui se conçoit en image. Tournant décisif vers la science moderne.
  • Métaphysique : il rejoue la vieille question de savoir si l’infini est un attribut divin inaccessible, une simple façon de parler (Hobbes), ou un objet légitime de la raison (les géomètres, puis Cantor).
  • Contradicteur (nuance pro-Hobbes) : Hobbes avait tort sur les maths, mais son intuition garde une force philosophique — méfiance envers les entités qu’on ne peut ni voir ni concevoir, exigence que les mots renvoient à quelque chose. C’est l’ancêtre de critiques modernes (l’intuitionnisme de Brouwer rejette aussi l’infini actuel et le tiers exclu — voir Les Paradoxes en Mathématiques).

En bref

  1. Torricelli (1641) : un solide à volume fini et surface/longueur infinie (la trompette de Gabriel) — un objet “fini-infini”.
  2. Hobbes le rejette : matérialiste-nominaliste, il tient l’infini actuel pour un non-sens, car on n’en a aucune image sensible ; “infini” serait un mot vide.
  3. Torricelli et les géomètres : le résultat est démontré, donc vrai — le calcul prime sur l’imagination.
  4. Arrière-plan : infini potentiel (Aristote, acceptable) vs infini actuel (refusé jusqu’à Cantor).
  5. Enjeu : le moment où les maths rompent avec le sens commun ; tranché plus tard par l’analyse rigoureuse et la théorie des ensembles de Cantor.

🔗 Notes connexes

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